Métodos Numéricos para Calcular Autovalores En aplicaciones prácticas, los autovalores de una matriz no siempre se pueden calcular de manera analítica, especialmente para matrices grandes. Por ello, se utilizan algoritmos numéricos para aproximar los autovalores. A continuación, se describen dos métodos comunes: el método de la potencia y el algoritmo QR . Método de la Potencia El método de la potencia es un algoritmo iterativo que encuentra el autovalor dominante (el de mayor magnitud) de una matriz \( A \). El proceso es el siguiente: Se elige un vector inicial \( \mathbf{x}_0 \) no nulo. Se itera el cálculo \( \mathbf{x}_{k+1} = A \mathbf{x}_k \). Se normaliza \( \mathbf{x}_{k+1} \) en cada iteración. El autovalor dominante se aproxima como \( \lambda \approx \frac{\mathbf{x}_k^T A \mathbf{x}_k}{\mathbf{x}_k^T \mathbf{x}_k} \). Este método es útil cuando solo se necesita el autovalor dominante y su autovector asoci...
Casos No Diagonalizables: Forma de Jordan No todas las matrices son diagonalizables. Cuando una matriz no tiene suficientes autovectores linealmente independientes, puede transformarse en una forma canónica de Jordan , una matriz triangular que generaliza la diagonalización. Esta forma es especialmente útil para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales no diagonalizables. ¿Qué es la Forma de Jordan? La forma de Jordan es una matriz triangular que tiene los siguientes elementos: Los autovalores en la diagonal principal. Unos en la superdiagonal (justo encima de la diagonal principal). Ceros en todas las demás posiciones. Esta forma es una generalización de la diagonalización y se utiliza cuando una matriz no tiene suficientes autovectores para ser diagonalizable. Ejemplo de Forma de Jordan: Consideremos la matriz \( J \): \[ J = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}...