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Métodos Numéricos para Calcular Autovalores

Métodos Numéricos para Calcular Autovalores En aplicaciones prácticas, los autovalores de una matriz no siempre se pueden calcular de manera analítica, especialmente para matrices grandes. Por ello, se utilizan algoritmos numéricos para aproximar los autovalores. A continuación, se describen dos métodos comunes: el método de la potencia y el algoritmo QR . Método de la Potencia El método de la potencia es un algoritmo iterativo que encuentra el autovalor dominante (el de mayor magnitud) de una matriz \( A \). El proceso es el siguiente: Se elige un vector inicial \( \mathbf{x}_0 \) no nulo. Se itera el cálculo \( \mathbf{x}_{k+1} = A \mathbf{x}_k \). Se normaliza \( \mathbf{x}_{k+1} \) en cada iteración. El autovalor dominante se aproxima como \( \lambda \approx \frac{\mathbf{x}_k^T A \mathbf{x}_k}{\mathbf{x}_k^T \mathbf{x}_k} \). Este método es útil cuando solo se necesita el autovalor dominante y su autovector asoci...
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Métodos Numéricos para Calcular Autovalores

Métodos Numéricos
para Calcular Autovalores

En aplicaciones prácticas, los autovalores de una matriz no siempre se pueden calcular de manera analítica, especialmente para matrices grandes. Por ello, se utilizan algoritmos numéricos para aproximar los autovalores. A continuación, se describen dos métodos comunes: el método de la potencia y el algoritmo QR.

Método de la Potencia

El método de la potencia es un algoritmo iterativo que encuentra el autovalor dominante (el de mayor magnitud) de una matriz \( A \). El proceso es el siguiente:

  1. Se elige un vector inicial \( \mathbf{x}_0 \) no nulo.
  2. Se itera el cálculo \( \mathbf{x}_{k+1} = A \mathbf{x}_k \).
  3. Se normaliza \( \mathbf{x}_{k+1} \) en cada iteración.
  4. El autovalor dominante se aproxima como \( \lambda \approx \frac{\mathbf{x}_k^T A \mathbf{x}_k}{\mathbf{x}_k^T \mathbf{x}_k} \).

Este método es útil cuando solo se necesita el autovalor dominante y su autovector asociado.

Ejemplo del Método de la Potencia:

Consideremos la matriz \( A \):

\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}. \]

Comenzando con el vector inicial \( \mathbf{x}_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \), las iteraciones convergen al autovalor dominante \( \lambda \approx 2.618 \).

Algoritmo QR

El algoritmo QR es un método más general que calcula todos los autovalores de una matriz. Funciona de la siguiente manera:

  1. Se descompone la matriz \( A \) en un producto de una matriz ortogonal \( Q \) y una matriz triangular superior \( R \): \( A = QR \).
  2. Se construye una nueva matriz \( A' = RQ \).
  3. Se repite el proceso iterativamente hasta que \( A' \) converge a una forma triangular superior, cuyos elementos diagonales son los autovalores de \( A \).

Este método es más robusto y se utiliza para calcular todos los autovalores de una matriz.

Aplicaciones de los Métodos Numéricos

Estos métodos son fundamentales en áreas como:

  • Ciencia de datos: Para análisis de componentes principales (PCA).
  • Ingeniería: Para resolver sistemas dinámicos y problemas de vibraciones.
  • Física: En la mecánica cuántica para calcular estados energéticos.
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